W 1986 roku otwarto siedzibę muzeum przy Grand Avenue, zaprojektowaną przez Aratę Isozakiego. Do tego czasu muzeum działało bez fizycznej siedziby. Pierwszym dyrektorem został Pontus Hultén, szwedzki kolekcjoner sztuki i muzealnik, dyrektor francuskiego Musée National d’Art Moderne (MNAM). W pierwszych latach (od 1983) dzieła sztuki wystawiano w przekształconym pod ten cel dawnym magazynie policyjnym, który po otwarciu głównej siedziby został dodatkowym lokalem instytucji – The Geffen Contemporary.
Pierwsza wystawa The First Show: Painting and Sculpture from Eight Collections 1940-1980 prezentowana od listopada 1983 do lutego 1984 zawierała około 150 dzieł z dziedziny malarstwa i rzeźby europejskich i amerykańskich twórców pozyskanych z prywatnych kolekcji.
Muzeum utrzymywane jest w zdecydowanej większości z dotacji darczyńców. W 2008 media donosiły o krytycznej sytuacji fiskalnej MOCA, której dotacje spadły. Prokurator generalny Kalifornii tego samego roku rozpoczął audyt muzeum wskutek, którego nakazał szkolenie zarządu muzeum oraz zatrudnienie konsultanta ds. procedur finansowych.