Z tego powodu wprowadza się ogólne, abstrakcyjne rozmaitości różniczkowe, które niekoniecznie muszą być podzbiorami i mogą mieć znacznie bardziej złożoną naturę.
Definicja Podzbiór nazywa się -wymiarową rozmaitością różniczkową (w ), jeżeli dla każdego istnieje zbiór otwarty zawierający zbiór otwarty oraz funkcja różnowartościowa i klasy taka, że
(1)
(2) Pochodna ma rząd dla każdego
(3) Funkcja jest ciągła.
Współrzędne, mapy i atlasy Funkcję z definicji rozmaitości różniczkowej nazywa się parametryzacją w otoczeniu punktu Funkcję do niej odwrotną nazywa się układem współrzędnych w otoczeniu punktu M. Spivak zamienia ze sobą te nazwy.. Parę nazywa się mapą w otoczeniu punktu Zbiór nazywa się dziedziną mapy Mapy oznacza się zwykle itd.
Na -wymiarowej rozmaitości różniczkowej funkcje gdzie oznacza rzutowanie na -tą współrzędną względem bazy standardowej tzn. funkcję daną wzorem
nazywa się współrzędnymi wyznaczonymi przez mapę
Zbiór map których dziedziny pokrywają całe nazywa się atlasem.
Mając dwie mapy można jedne współrzędne przeliczać na drugie za pomocą odwzorowań zamiany współrzędnych i
Przestrzeń styczna do rozmaitości Definicja