Rozmaitości różniczkowe (zanurzone) w są wystarczające na potrzeby wielu działów matematyki: analizy matematycznej, teorii optymalizacji, różniczkowych równań cząstkowych, nie są jednak wystarczające na potrzeby nowoczesnej fizyki. W fizyce rozmaitość różniczkowa modeluje czasoprzestrzeń jednakże użycie rozmaitości różniczkowych (zanurzonych) w dla rodziłoby wiele pytań:
(a) Dlaczego nie obserwujemy dodatkowych wymiarów?
(b) Jak wykryć dodatkowe wymiary?
(c) Ile wynosi ?
Itd. Z tego powodu rozmaitości różniczkowe (zanurzone) w trzeba uogólnić na potrzeby fizyki. Robi się to „wymazując” odwołanie do w definicji rozmaitości różniczkowej. Rozmaitość różniczkową definiuje się jako po prostu przestrzeń Hausdorffa (niekoniecznie podzbiór ) wraz ze zbiorem map na rozmaitości, czyli atlasem.
Takie ogólne rozmaitości mogą mieć znacznie bardziej skomplikowaną naturę. Poprzednie definicje przestrzeni stycznej i pochodnej funkcji tracą sens. Teraz przestrzeń styczną w punkcie definiuje się jako zbiór krzywych przechodzących przez punkt tzn. funkcji postaci takich, że przy czym utożsamia się ze sobą krzywe, które po przeniesieniu do za pomocą układu współrzędnych mają równy wektor styczny w zerze, tzn.