W ogólności automorfizmy kwadratowe, czyli odwracalne przekształcenie kwadratowe przestrzeni na siebie, opisują „symetrie” przestrzeni takie jak opisane wyżej (kwadratowe) zmiany bazy. Ponieważ złożenie automorfizmów jest automorfizmem, jest łączne z definicji, przekształcenie tożsamościowe jest automorfizmem, a dla każdego automorfizmu istnieje automorfizm do niego odwrotny, to zbiór automorfizmów przestrzeni tworzy grupę nazywaną ogólną lub pełną grupą kwadratową przestrzeni
Przestrzenie przekształceń
Przekształcenia kwadratowe tworzą przestrzeń kwadratową z działaniami określonymi „punktowo”, tj. które wykonywane są dla każdego wektora w ten sam sposób:
oraz