problemem Waringa czy hipotezą Goldbacha).
Choć powyższy podział utrwalił się w literaturze, współcześnie wiele kierunków badań przeplata ze sobą metody różnych dziedzin, aby osiągnąć efektywne rezultaty. Do najbardziej znaczących należą: probabilistyczna teoria liczb, teoria sit, badania form automorficznych.
Historia Prehistoria – Euler i Riemann Pierwsze badania skupione były na analizie zachowania funkcji liczącej liczby pierwsze Rozumiemy przez nią liczbę liczb pierwszych mniejszych lub równych (np. bo liczbami pierwszymi w przedziale są 2,3,5,7). O nieskończoności liczb pierwszych wiedziano już od Euklidesa, ale asymptotyka czy nierówności opisujące wielkości funkcji pozostawały nieznane. W XVIII w. Carl Friedrich Gauss i Adrien-Marie Legendre postawili (niezależnie od siebie) hipotezę mówiącą, że
jest właściwym przybliżeniem (przez rozumiemy logarytm naturalny z ).
Pierwszym znaczącym krokiem w tej materii były, na pozór niepowiązane z liczbami pierwszymi, prace Leonharda Eulera poświęcone szeregom potęg odwrotności liczb naturalnych (w tym problemowi bazylejskiemu), a dokładniej – dowód słuszności iloczynu Eulera.
Niech będzie liczbą rzeczywistą. Rozważmy (zbieżny) szereg