Modyfikacja metody – Winogradow Iwan Winogradow zmodyfikował podejście Hardy’ego, Ramanujana i Littlewooda, aby udowodnić, że wszystkie dostatecznie duże liczby nieparzyste spełniają hipotezę Goldbacha dla trzech liczbN. Rouse, Vinogradov’s three prime theorem https://math.uchicago.edu/~may/REU2013/REUPapers/Rouse.pdf, 2013 (ang.).. W swojej pracy Winogradow udowodnił i skorzystał z twierdzenia mówiącego, że funkcja
gdzie oznacza funkcję von Mangoldta, spełnia zależność
przy czym dla nieparzystych jest funkcją ograniczoną.
Zmiany w podejściu polegały przede wszystkim na rozważaniu skończonej sumy trygonometrycznej
gdzie jest ustaloną liczbą, a Widzimy, że
dla dlatego dowód Winogradowa opierał się na oszacowaniu całki
Rozwój teorii sit – Brun, Selberg W miarę rozwoju nauki część matematyków powróciła do metod elementarnych, niewymagających korzystania z funkcji zeta ani funkcji L Dirichleta. Viggo Brun, dowodząc w 1919 r. zbieżność szeregu odwrotności liczb pierwszych bliźniaczych, zapoczątkował rozwój nowej poddziedziny analitycznej teorii liczb – teorii sit. Nowe twierdzenia umożliwiły ustalanie efektywnych szacowań odgórnych, ale nie aż tak dobrych szacowań oddolnych.