Problemy otwarte Poniżej przedstawiono kilka z najważniejszych i zarazem najbardziej znanych problemów otwartych w analitycznej teorii liczb. Hipoteza Riemanna – czy każde nietrywialne miejsce zerowe funkcji zeta Riemanna leży na linii krytycznej ? Problem uznawany jest powszechnie za najbardziej znaczący w całej teorii liczb, doczekał się licznych publikacji. W praktyce, hipoteza Riemanna jest równoważna z zależnością
gdzie Li oznacza resztę logarytmu całkowego Uogólniona hipoteza Riemanna – czy każde nietrywialne miejsce zerowe funkcji L Dirichleta leży na linii krytycznej ? Prawdziwość tej hipotezy pociągałaby za sobą skutki analogiczne do zwykłej hipotezy Riemanna, ale dotyczące liczb pierwszych w ciągach arytmetycznych. Jeśli jest ona prawdziwa, to
Hipoteza Goldbacha – czy każda liczba parzysta większa niż 2 może być przedstawiona w postaci sumy dwóch liczb pierwszych? Hipoteza liczb pierwszych bliźniaczych – czy istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych takich, że jest również liczbą pierwszą?
Problem stałej Linnika – jeśli dla liczb całkowitych oznacza najmniejszą liczbę pierwszą w ciągu arytmetycznym to czy dla wszystkich par zachodzi zależność