mały|Przykład charakteru Dirichleta W analitycznej teorii liczb funkcja arytmetyczna nazywana jest charakterem Dirichleta modulo , jeśli dla ustalonej liczby naturalnej i wszystkich liczb całkowitych spełnia warunki:
tzn. jest całkowicie multiplikatywna. jeśli oraz jeśli gdzie oznacza największy wspólny dzielnik i – ma okres
Najprostszym przykładem charakteru Dirichleta jest charakter pryncypialny, zadany przez
Najczęściej jest on zapisywany jako .
W ogólności, dla każdej liczby całkowitej istnieje dokładnie (tocjent) różnych charakterów Dirichleta mod . Są to (lub ) dane przez dla pewnej liczby całkowitej zależnej od , i dla oraz dla .
Przykłady Dla istnieje 6 różnych charakterów mod 7. + Tutaj .
Własności
Przystawanie Własnością oczywistą (wynikającą z okresowości) jest fakt, że jeśli , to
.
Twierdzenie odwrotne niekoniecznie musi być prawdziwe.
Tocjent Jeśli , to z twierdzenia Eulera wiadomo, że , więc
.
Ortogonalność Charakterów Dirichleta dotyczą dwie relacje ortogonalności,
oraz
.
Ponadto, tożsamością wykorzystywaną najczęściej w dowodach twierdzeń jest
Wykorzystanie Ze względu na swoje własności, charaktery Dirichleta wykorzystywane są najczęściej w problemach dotyczących liczb pierwszych w ciągach arytmetycznych.
Funkcje L Dirichleta