W sezonie 1979 przyczynił się do zdobycia pierwszego w swojej karierze Mistrzostwa ZSRR. Po raz drugi zdobył ten tytuł w 1987. Rok później opuścił Spartak i wyjechał do hiszpańskiej Sewilli. W Spartaku łącznie rozegrał 335 meczów, w Sewilli zaś 59. W 1991, w wieku 34 lat zakończył karierę jako zawodnik Sevilla FC
Kariera reprezentacyjna Latem 1979 trenerowi Spartaka Bieskowowi powierzono funkcję selekcjonera radzieckiej reprezentacji. Nowy selekcjoner dał swojemu podopiecznemu Dasajewowi szansę debiutu w drużynie ZSRR. 5 września 1979 w meczu z NRD Dasajew rozegrał premierowe spotkanie w barwach Sbornej. Także i w tej drużynie wkrótce stał się jednym z kluczowych piłkarzy. W 1980 zdobył brązowy medal Igrzysk Olimpijskich w Moskwie, zaś dwa lata później wystąpił w mistrzostwach świata w Hiszpanii. Mimo rosnącej konkurencji (m.in. ze strony braci Wiktora i Wiaczesława Czanowów) pozostawał przez długi czas pierwszym bramkarzem reprezentacji. Wziął udział w mundialu 1986, a dwa lata później osiągnął swój największy międzynarodowy sukces zdobywając Wicemistrzostwo Europy na turnieju w RFN. Pod koniec lat 80. coraz częściej tracił miejsce w bramce na rzecz mniej doświadczonych konkurentów (m.in. Wiktora Czanowa, Dmitrija Charina i Aleksandra Uwarowa).