Jeśli współczynnik załamania światła w ośrodku jest stały, to światło biegnie po liniach prostych, ale załamuje się przy zmianach współczynnika załamania. Ogólnie, zgodnie z zasadą Fermata, światło porusza się po krzywej dla której czas biegu promienia jest najkrótszy.
Czas, w którym światło pokonuje drogę wynosi gdzie jest prędkością światła w ośrodku, to prędkość światła w próżni, a to bezwzględny współczynnik załamania światła.
Wobec tego funkcjonał, który chcemy minimalizować ma postać:
W przypadku dwuwymiarowym otrzymujemy:
gdzie to krzywa, po której porusza się promień, taka, że i
Metody rachunku wariacyjnego Równania Eulera-Lagrange’a
Są to podstawowe równania rachunku wariacyjnegoK. Tatarkiewicz, Rachunek wariacyjny, cz. 1–2, WNT, Warszawa 1970., służące do znajdowania ekstremów funkcjonałów danych całką. Rozwiązaniami równań E-L są funkcje, dla których całka przyjmuje wartości ekstremalne.
Jeśli funkcjonał ma postać
to równania E-L mają postać
gdzie może być liczbą rzeczywistą albo wektorem – w drugim przypadku dostajemy układ równań
gdzie jest -tą współrzędną wektora