thumb|150px|Brachistochrona
Brachistochrona, krzywa najkrótszego spadku (gr. βραχιστoς brachistos – „najkrótszy” + χρovoς chronos – „czas”) – krzywa, po której masa punktowa pod wpływem stałej siły (siły ciężkości) stacza się w możliwie najkrótszym czasie. Brachistochrona jest fragmentem cykloidy.
Zagadnienie brachistochrony było jednym z pierwszych, do rozwiązania którego wykorzystano rachunek wariacyjny. Problem brachistochrony postawiony został w 1696 przez Johanna Bernoulliego, był wynikiem rywalizacji braci Jakoba oraz Johanna Bernoullich. Problem znalezienia krzywej najszybszego spadku został rozwiązany niezależnie przez Leibniza, Newtona, Johanna Bernoulliego oraz de l’Hospitala.
Plik:Brachistochrone.gif
Rozwiązanie zagadnienia Przy założeniu, że równaniem szukanej krzywej jest punkty i można zapisać następująco: oraz
Rodzina funkcji (funkcjonał) spełniających założenia problemu jest opisana jako:
gdzie: – długość krzywej, – prędkość, którą można wyznaczyć z zasady zachowania energii:
stąd:
Wyrażenia na i można teraz wstawić do wyjściowej całki:
Nie zmniejszając ogólności rozważań można przyjąć punkt jako co upraszcza dalsze rachunki. Dodatkowo można założyć również, że oś skierowana jest do dołu.