Wzór sumacyjny Eulera (ang. Euler’s summation formula) – tożsamość stosowana w analitycznej teorii liczb. Podobnie jak wzór sumacyjny Abela, pozwala on wyrazić dyskretną sumę wartości danej funkcji różniczkowalnej przez całkę. Wzór ten został przedstawiony przez Leonharda Eulera w 1736 r., a następnie uogólniony. Jest to szczególny przypadek wzoru sumacyjnego Eulera-Maclaurina.
Treść twierdzenia Niech dane będą liczby oraz funkcja różniczkowalna na przedziale Wówczas
gdzie suma po lewej stronie jest po wszystkich liczbach całkowitych a oznacza część ułamkową liczby
Dowód. Oznaczając sumę po prawej możemy wyrazić jako całkę Riemanna-Stieltjesa
Drugą z nich możemy wyrazić całkując przez części,
Stąd wynika wzór Eulera.
Przykłady Szereg harmoniczny
Niech
Udowodnimy, że
gdzie to logarytm naturalny, a to stała Eulera-Mascheroniego. Dla zachodzi
gdzie:
Zauważmy, że przy całka jest zbieżna. Dlatego możemy zapisać
gdzie To dowodzi, że
gdzie stała jest z definicji równa
To dowodzi podanej zależności.
Wzór Stirlinga
Wykażemy prawdziwość wzoru Stirlinga w postaci
dla pewnej stałcej gdzie oznacza podłogę z liczby .