Według planu miasta z 1878 roku ulica figurowała pod nazwą „Jasna”, którą formalnie usankcjonowała Rada Miejska cztery lata później (zgodnie z dokumentacją z 1882 roku). Prawdopodobnie wybór tego określenia miał symboliczne znaczenie, nawiązujące do specyfiki tej części miasta. Imię Wojciecha Bogusławskiego nadano w 1951 roku.
23 lutego 1934 roku układ urbanistyczny dawnego miasta Stradomia został wpisany do rejestru zabytków nieruchomych pod numerem A-12. Ulica Wojciecha Bogusławskiego znajduje się wewnątrz tego obszaru.
W budynku przy ulicy Wojciecha Bogusławskiego 5 (dawna Jasna 5) swoje miejsce zamieszkania w latach 1905–1936 miał Ozjasz Thon (co upamiętnia tablica pamiątkowa), natomiast w kamienicy przy ulicy Wojciecha Bogusławskiego 6, od 1993 roku mieszkał Czesław Miłosz. W tym samym lokalu poeta zmarł 14 sierpnia 2004 roku.