Morris studiował na Uniwersytecie Stanu Ohio, a następnie na wydziale teatralnym na University of Iowa. Podczas studiów działał w teatrze. Był gospodarzem popularnego popołudniowego jazzowego programu radiowego pod tytułem Tea–Time. Morris wraz z przyjacielem studentem pomagał także przy organizacji koncertów na uniwersytecie. Opuścił jednak studia przed ich ukończeniem, przeniósł się do Seattle i występował na scenie głównie w niewielkich rolach, zanim zdobył główną rolę w lokalnej produkcji Rodzynek w słońcu. Dorabiał też jako sommelier.

Na początku lat sześćdziesiątych wyjechał do Hollywood, gdzie dostał pierwsze rolę delegata ONZ z Arabii Saudyjskiej w sitcomie NBC Samochód 54, gdzie jesteś? (1963). Od 17 września 1966 do 30 marca 1973 grał postać Barnarda „Barneya” Colliera, geniusza mechaniki i elektroniki, właściciela Collier Electronics w serialu CBS Mission: Impossible, za którą był trzykrotnie nominowany do nagrody Emmy (1969, 1970, 1972). W 1968 podpisał kontrakt nagraniowy z Dot Records i wydał album for you... z recytacjami, a promował go singel z utworem „Come Rain or Come Shine”.