Przykłady zastosowania Na przykład dla liczba jest pierwsza a więc twierdzenie Fermata wg Germain jest prawdziwe jeśli tylko ani ani ani nie jest podzielna przez .
Dla jednak liczba nie jest pierwsza i trzeba szukać dalej. Liczba jest już pierwsza. Wtedy więc dla trzeba jednak też sprawdzić czy w skończonym ciągu reszt z dzieleń potęg kolejnych liczb naturalnych od do przez , nie ma żadnych liczb różniących się o i też czy nie pojawia się tam sam wykładnik . Otrzymujemy w ten sposób ciąg a więc składający się tylko z różnych liczb . Nie ma w nich ani różniących się o ani liczby . Twierdzenie Fermata wg Germain jest więc prawdziwe dla i wszystkich nie podzielnych przez .
Ogólny dowód twierdzenia Podczas kiedy liczba posiłkowa nie ma naprawdę nic wspólnego z podzielnością przez i jak udowodniła Sophie Germain musi także dzielić liczby i dla których zachodziło by naruszenie twierdzenia Fermata oraz jest bardzo prawdopodobne ze jest prawdziwa hipoteza że istnieje nieskończenie wiele a więc i dowolnie dużych liczb posiłkowych dla danego na podobieństwo liczb pierwszych Mersenne’a Germain najprawdopodobniej udowodniła poprzez swoje rozważania w ten sposób także nie wprost twierdzenie w ogólnym przypadku tzn. dla liczb również podzielnych przez i dla wszystkich wykładników poprzez tzw.