Ponadto powiemy, że deski pokrywają , jeśli
.
Sformułowanie problemu Tarskiego jest następujące. Jeśli ciało wypukłe jest pokryte przez deski , to
.
Innymi słowy, suma szerokości desek musi wynosić co najmniej tyle, co szerokość .
Uogólnienie Banga Thøger Bang uogólnił zagadnienie do postaci niezmiennej przy działaniu przekształceń afinicznych. Dla deski o hiperpłaszczyźnie brzegowej przez będziemy oznaczać jej szerokość względną () daną przez
.
Bang postawił hipotezę, że jeśli ciało wypukłe jest pokryte przez deski , to suma ich szerokości względnych jest większa lub równa 1,
.
Keith Ball w pracy z 1991 r. udowodnił prawdziwość tej hipotezy dla zbiorów wypukłych środkowo symetrycznych, tzn. takich, że istnieje punkt taki, że wtedy i tylko wtedy, gdy . W swoim rozwiązaniu korzystał z faktu, że dla każdego takiego zbioru można utworzyć przestrzeń Banacha , w której jest kulą jednostkową w normie Minkowskiego. Dla zbiorów niebędących środkowo symetrycznymi, problem wciąż pozostaje otwarty.
Popularyzacja 8 listopada 2024 r. Grant Sanderson udostępnił na swoim kanale 3Blue1Brown w serwisie YouTube film ilustrujący problem w przypadku przestrzeni dwuwymiarowej.
Przypisy
Kategoria:Geometria afiniczna Kategoria:Otwarte problemy matematyki