Kariera Karting Jan Przyrowski po raz pierwszy zasiadł za kierownicę gokarta w wieku 4 lat. W latach 2013–2015 był związany z zespołem Bambini Racing. Następnie w latach 2016–2019 rywalizował w barwach Elite Racing Development, z którym wywalczył tytuł Kartingowego Mistrza Polski. W sezonie 2019 dołączył do włoskiego zespołu AV Racing i przeszedł przez kolejne kategorie kartingowe. Przełom nastąpił w 2021 roku, kiedy został fabrycznym kierowcą Tony Kart, które słynie ze ścisłej współpracy ze Scuderią Ferrari.
W sezonie 2022 roku Przyrowski zdobył wicemistrzostwo Europy i II wicemistrzostwo świata FIA. Wówczas rywalizował w kategorii OK-Junior. Za osiągnięcia został wyróżniony na Gali FIA i odebrał trofeum w obecności m.in. najlepszej wówczas trójki F1 – Maxa Verstappena, Charlesa Leclerca i Sergio Pereza. W 2023 roku przeniósł się do wyższej kategorii OK-Senior. Wówczas zajął 7. miejsce w Champions of the Future Euro Series (OK-Senior) i 10. miejsce w Kartingowych Mistrzostwach Świata FIA (OK-Senior). W sierpniu tego samego roku został zaproszony przez Ferrari Driver Academy i wziął udział w „campie”, do którego wybrano najlepszych zawodników z jego kategorii wiekowej.