W sezonie 2021 wystąpił w 41 spotkaniach i znalazł się w gronie nominowanych do nagrody dla najlepszego młodego zawodnika J.League.
Celtic FC 23 listopada 2022 roku podpisał pięcioletni kontrakt z Celtic FChttps://www.celticfc.com/news/2022/november/23/celtic-delighted-to-sign-yuki-kobayashi/.. W pierwszym sezonie rozegrał 5 spotkań i był częścią drużyny, która zdobyła potrójną koronę w piłce szkockiej (liga, puchar, puchar ligi).
Portimonense 24 sierpnia 2024 roku Kobayashi przeszedł do portugalskiego klubu Portimonensehttps://www.portimonensesad.pt/noticia.php?id=22088..
Jagiellonia Białystok 3 lipca 2025 podpisał trzyletni kontrakt (z opcją przedłużenia o 12 miesięcy) z Jagiellonią Białystok. W jej barwach zadebiutował 18 lipca 2025 roku w przegranym 0:4 meczu przeciwko Bruk-Bet Termalice Nieciecza.
Kariera reprezentacyjna Reprezentował Japonię na wszystkich szczeblach młodzieżowych, począwszy od drużyny U-15. Wystąpił na Mistrzostwach Świata U-17 w 2017 roku i U-20 w 2019, grając we wszystkich czterech meczach swojego zespołu.