Kajrat Ałmaty W pierwszej drużynie Kajratu Ałmaty Satpajew zadebiutował 26 maja 2024 w meczu Pucharu Ligi Kazachskiej z Akżajykiem Orał (9:0). Pierwszą bramkę zdobył 2 marca 2025 w zremisowanym 1:1 spotkaniu przeciwko FK Astana. Pierwszego gola w Lidze Mistrzów UEFA strzelił 26 listopada 2025 w meczu z FC Kopenhaga (przegranym 2:3). W eliminacjach do tych rozgrywek trafiał do siatki w starciach z Olimpiją Lublana, KuPS i Slovanem Bratysława. W 2025 zdobył z Kajratem Ałmaty mistrzostwo Kazachstanu i wygrał Superpuchar Kazachstanu.
Chelsea F.C. W lutym 2025 ogłoszono transfer Satpajewa do Chelsea. Kwota transferu wyniosła rekordowe wówczas w skali Priemjer Ligasy 4 mln € (3,3 mln £). Satpajew dołączył do Chelsea 12 sierpnia 2026, w momencie ukończenia 18 lat.
Burnley FC 14 sierpnia 2026 roku został wypożyczony do Burnley FC.
Kariera reprezentacyjna Młodzieżowe reprezentacje Kazachstanu W latach 2023/2024 Satpajew rozegrał 10 meczów w reprezentacji Kazachstanu U-17. Strzelił w nich 4 gole. 5 czerwca 2025 w meczu z Andorą (1:0) zadebiutował w kadrze Kazachstanu U-21.