Nawet po powrocie Mamadou Sakho do zespołu Estève wywalczył miejsce w podstawowym składzie na środku obrony u boku reprezentanta Francji, podczas gdy Thuler tracił pozycję z powodu zawieszeń i problemów zdrowotnych. Dzięki serii przekonujących występów w defensywie młody Francuz był uznawany za jedno z największych objawień Montpellier na początku sezonu.
Swojego pierwszego gola w seniorskiej karierze strzelił w grudniu 2023 roku, w wygranym 1:0 meczu Ligue 1 z FC Metz.
Burnley 1 lutego 2024 roku Maxime Estève został wypożyczony na sześć miesięcy do Burnley FC, a umowa zawierała obowiązek wykupu. Od razu po przyjściu do klubu został podstawowym zawodnikiem, jednak nie zdołał uchronić drużyny przed spadkiem do Championship.
Burnley spędziło na drugim poziomie rozgrywkowym tylko jeden sezon, kończąc go na drugim miejscu, z taką samą liczbą punktów jak Leeds United, co oznaczało awans do Premier League. Zespół miał również najlepszą defensywę w lidze, tracąc zaledwie 16 bramek w 46 meczach, a także notując imponującą serię dwunastu kolejnych spotkań bez straconego gola i ponad 1130 minut z czystym kontem.