Motywacja Niekiedy zachodzi potrzeba udowodnienia istnieniaZob. filozofia matematyki oraz . obiektu matematycznego (który można postrzegać jako element maksymalny pewnego zbioru częściowo uporządkowanego). Dowód istnienia takiego obiektu można próbować przeprowadzić nie wprost zakładając, że nie ma wspomnianego elementu (maksymalnego), wykorzystując przy tym indukcję pozaskończoną oraz założenia sytuacyjne do tego, by wykazać sprzeczność. Lemat Kuratowskiego-Zorna służy wyklarowaniu założeń, które muszą być spełnione w danej sytuacji, aby można było wykorzystać takie rozumowanie. Tym samym lemat Kuratowskiego-Zorna umożliwia matematykom wyzbycie się konieczności każdorazowego powtarzania rozumowania indukcyjnego na rzecz sprawdzenia założeń lematu.
Twierdzenie
Zbiór nazywa się częściowo uporządkowanym przez (dwuargumentową) relację (tzw. częściowy porządek), jeśli jest ona zwrotna (), antysymetryczna ( oraz pociągają ) i przechodnia ( oraz pociągają );