Ideał – podzbiór pierścienia o własnościach pozwalających na konstrukcję pierścienia ilorazowego. Pojęcie ideału zostało wprowadzone przez Dedekinda jako uogólnienie pojęcia liczby idealnej, rozważanego przez Kummera. Badania Dedekinda były kontynuowane przez Hilberta i przez Emmy Noether.
Ideały odgrywają w teorii pierścieni rolę analogiczną do podgrup normalnych w teorii grup.
Definicja formalna W dalszej części artykułu nie zakłada się przemienności pierścieni ani istnienia jedynki.
Ideałem pierścienia nazywa się każdy podzbiór pierścienia o tej własności, że: jest podgrupą grupy addytywnej pierścienia, jeśli oraz to jeśli oraz to
W przypadku, gdy jest pierścieniem przemiennym warunki 2. i 3. są równoważne.
Warunkowi 1. równoważny jest następujący warunek: 1′. jest niepusty oraz dla wszelkich
Uwaga: W kontekście pierścieni, które są algebrami (nad pewnym ciałem) zakłada się dodatkowo, że jest podprzestrzenią liniową algebry Uwaga ta dotyczy również ideałów jednostronnych zdefiniowanych niżej.
Ideały jednostronne Podobnie definiuje się ideały jednostronne w pierścieniu podzbiór pierścienia jest ideałem lewostronnym, gdy spełnia warunki 1. i 2. podzbiór pierścienia jest ideałem prawostronnym, gdy spełnia warunki 1.