(Każda liczba zespolona jest punktem na płaszczyźnie, w tym , sytuacja jest więc inna, niż w przypadku obliczania pierwiastków w dziedzinie rzeczywistej, gdzie liczby są punktami na prostej). link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:NegativeOne3Root.svg|mały|Trzy pierwiastki zespolone 3-go stopnia dla Przykład 3: Pierwiastki 3-go stopnia z -1
Aby obliczyć pierwiastki 3-go stopnia korzystamy z postaci trygonometrycznej oraz wzoru Moivre'a:
Przykłady powyższe ilustrują ogólna prawidłowość, iż każda liczba zespolona ma pierwiastków -tego stopnia - w tym liczby zespolone czysto rzeczywiste, które nie mają pierwiastków algebraicznych w dziedzinie liczb rzeczywistych.
Twierdzenia - pierwiastki zespolone. Subtelność funkcji wielowartościowych W dziedzinie pierwiastków zespolonych obowiązują te same twierdzenia, co w dziedzinie liczb rzeczywistych, ale posługiwanie się nimi wymaga uwagi ze względu na wielowartościowość pierwiastków zespolonych. Np. zakładając słuszność twierdzenia otrzymamy
Ale
zaś
– czyli sprzeczność. Sprzeczność wynika stąd, że w obliczeniach nie uwzględniono faktu, iż pierwiastki kwadratowe z liczb oraz w dziedzinie liczb zespolonych mają po dwie wartości: oraz Wtedy mamy:
czyli dostajemy dwa wyniki, identyczne jak dla pierwiastka z 1.
Historia Nazwy