Przykłady Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach można dowieść, że
Otóż dla dowolnego zachodzą oszacowania
Wzięcie granic skrajnych wyrazów przy daje gdyż jest ciągiem stałym równym oraz gdyż dla skąd na mocy twierdzenia również
Z dowodu twierdzenia o trzech ciągach wynika również, że jeśli granice dolna i górna ciągu są sobie równe, to dowolny jego podciąg jest zbieżny do tej granicy. Pociąga to za sobą zbieżność do danej granicy także całego ciągu.
Historia Twierdzenie to, w formie geometrycznej, stosowali już w starożytności Archimedes i Eudoksos. Obecną, ścisłą formę nadał mu Carl Friedrich Gauss.
Intuicyjność tego twierdzenia umożliwiła żartobliwe jego sformułowanie jako „twierdzenia o milicjantach”: jeśli idziesz między dwoma milicjantami zmierzającymi do tego samego komisariatu, to też tam zmierzasz.
Nazwa ta powstała w czasie stanu wojennego w Polsce, a dziś częściej mówi się o policjantach. Podobne nazwy występują w innych językach: po rosyjsku także odwołuje się do milicji – por.