Finał wielkoszlemowy US Open 1993 pozostawał przez kilkanaście lat najlepszym rezultatem uzyskanym przez Damma w turniejach tej rangi. W styczniu 2006 roku po raz drugi dotarł do finału wielkoszlemowego, podczas Australian Open startując w parze z Leanderem Paesem. W decydującym meczu nie sprostali bliźniakom Bobowi i Mike'owi Bryanom. Swój jedyny triumf wielkoszlemowy Damm odniósł tegoż samego sezonu podczas US Open. W finale wspólnie z Paesem pokonał 6:7(5), 6:4, 6:3 Jonasa Björkmana i Maksa Mirnego.
Swój ostatni deblowy turniej Czech wygrał w sierpniu 2009 roku w Waszyngtonie. Łącznie zwyciężył w 40 deblowych rozgrywkach, a w dalszych 23 był finalistą.
W 1993 roku Damm zadebiutował w zespole narodowym Czechosłowacji (potem Czech) w Pucharze Davisa. Startując zarówno w grze podwójnej, jak i pojedynczej, udało mu się odnieść 2 zwycięstwa przy 8 porażkach. Po raz ostatni wystąpił w Pucharze Davisa we wrześniu 2006 roku, w parze z Tomášem Berdychem, w przegranym meczu z Rosją.
Startował na igrzyskach olimpijskich w Atenach w 2004 roku, ale odpadł w 2 rundzie z, późniejszymi brązowymi medalistami, Ivanem Ljubičiciem i Mario Ančiciem z Chorwacji (w parze z Cyrilem Sukiem).
W rankingu gry pojedynczej Damm najwyżej był na 42. miejscu (18 sierpnia 1997), a w klasyfikacji gry podwójnej na 5.