W latach 70. przyczynił się do rozwoju operacji przeszczepów, wprowadzając cyklosporynę, zmniejszającą ryzyko odrzucenia organu przez organizm, oraz zastosował biopsję mięśnia serca pozwalającą na wczesne wykrycie reakcji odrzucenia przeszczepuPioneers of Heart Surgery. https://www.pbs.org/wgbh/nova/heart/pioneers.html.
9 marca 1981 Bruno Reitz i Norman Shumway wykonali pierwszy przeszczep serca i płuca (pacjentka zmarła pięć lat później z powodu powikłań po upadku ze schodów - przeprowadzona sekcja nie wykazała ostrej, ani przewlekłej reakcji odrzuceniowej).
Został m.in. uhonorowany nagrodą Międzynarodowego Towarzystwa Transplantacji Serca i Płuc, kierował fundacją popularyzującą transplantacje. W 1994 nagrodzony Medalem Listera.
Shumway oficjalnie przeszedł na emeryturę w 1993, w którym przestał oficjalnie prasowa i operować. Nadal wykładał i pisał: ostatnia z jego 447 prac naukowych została opublikowana w listopadzie 2005.
Największą pasją Normana Shumwaya poza medycyną był golf, której to gry nauczył się w młodości.