Równanie różniczkowe cząstkowe rzędu – równanie funkcyjne, które zawiera funkcję niewiadomą zmiennych (co najmniej dwóch) oraz pochodne cząstkowe funkcji niewiadomej względem tych zmiennych rzędu nie większego niż .
Np. równanie Laplace’a jest równaniem cząstkowym rzędu trzech zmiennych gdyż zawiera drugie pochodne po tych zmiennych
Przykładowymi rozwiązaniami tego równania są funkcje dane wzorami
(w zbiorze ) lub
(w całej przestrzeni).
Historia Równania różniczkowe cząstkowe pojawiły się w związku z badaniami procesów drgań rozmaitych środowisk, między innymi drgań strun, prętów, membran, jak również w związku z badaniami zagadnień z zakresu akustyki i hydromechaniki.
Równania hiperboliczne. Zagadnienie początkowe Pierwsze równanie różniczkowe cząstkowe zostało sformułowane w połowie XVIII wieku przez J. d’Alemberta. Było to równanie typu hiperbolicznego – według dzisiejszej nomenklatury – i powstało w wyniku rozważań nad zagadnieniem struny drgającej. L. Euler (1707–1783) sprecyzował warunki określające jednoznaczność rozwiązania tego równania, tworząc początki teorii równań różniczkowych cząstkowych. Później, kierując się sugestiami natury fizycznej, D. Bernoulli przedstawił rozwiązanie struny drgającej w postaci szeregu trygonometrycznego. Metodę tę rozwinął J.