W marcu 1933 rozpoczął naukę w argentyńskiej szkole powszechnej, jego brat Bolesław rok później. W roku 1936 urodziła się jego siostra Irena. Rodzeństwu, które znalazło się w całkowicie obcym środowisku, groziło wynarodowienie. Henryka uchroniła przed tym gromadzona przez ojca kolekcja książek polskich, dołączanych do prenumeraty polonijnego pisma „Ameryka-Echo”.
Po ukończeniu szkoły powszechnej podjął naukę w trzyletniej szkole zawodowej Escuela de Artes y Oficios w Azul, wyuczając się w zawodzie ślusarza i tokarza. Uczęszczając do szkoły zawodowej ukończył eksternistycznie trzy lata liceum ogólnokształcącego, czwarty rok jako uczeń regularny, a równocześnie eksternistycznie piąty, ostatni rok. W marcu 1943 rozpoczął studia na wydziale elektromechanicznym Uniwersytetu Narodowego w La Placie.
Henryk Jaskuła przez dłuższy czas planował powrót do Polski. Po zakończeniu II wojny światowej postanowił kontynuować studia w Polsce. Pismo z zapytaniem o możliwość podjęcia studiów wysłał na adres Fakultetu Elektrycznego Uniwersytetu Jagiellońskiego w Krakowie. Odpowiedź nadeszła od ówczesnego rektora Akademii Górniczej w Krakowie – Walerego Goetla.