Miara Haara – niezmiennicza ze względu na działanie grupowe miara określona na lokalnie zwartej grupie topologicznej. Konsekwencją istnienia miary Haara na grupie lokalnie zwartej jest istnienie całki. Z tego względu ma liczne zastosowania w analizie i teorii liczb.
Miara Haara nazwana została na cześć Alfreda Haara, węgierskiego matematyka, który jako pierwszy podał jej konstrukcję około roku 1932.
Wprowadzenie
Niech G będzie lokalnie zwartą grupą topologiczną, a B niech oznacza σ-ciało generowane przez zwarte podzbiory G. W dalszym ciągu B nazywać będziemy σ-ciałem borelowskim, a zbiory z B – zbiorami borelowskimi (patrz uwaga na końcu tej sekcji).
Dla dowolnego elementu i zbioru niech oznacza jego przesunięcie lewostronne o a, zaś przesunięcie prawostronne.
Z własności działań w grupie topologicznej wynika, że oba rodzaje przesunięć przekształcają dowolny zbiór borelowski w zbiór borelowski.
Miara μ na rodzinie zbiorów borelowskich grupy nazywa się lewostronnie niezmiennicza jeśli dla dowolnego zbioru borelowskiego zachodzi warunek:
Analogicznie definiuje się pojęcie miary prawostronnie niezmienniczej.