thumb|Parabola – prosty przykład krzywej. Krzywa – uogólnienie linii prostej. Mimo intuicyjnej prostoty, pojęcie krzywej okazało się bardzo trudne do ścisłego zdefiniowania. Poprawna definicja powinna obejmować „dowolną linię” (w szczególności na płaszczyźnie lub przestrzeni trójwymiarowej), w tym także linię prostą, która mogłaby się rozgałęziać i przerywać.
Definicje formalne Definicje historycznie odleglejsze Komentatorzy Euklidesa określali krzywą jako „długość bez szerokości” oraz „ograniczenie powierzchni”. Nie są to jednak definicje w sensie matematycznym. Kartezjusz definiował krzywą jako zbiór punktów spełniających pewne równanie. Definicja ta nie obejmuje jednak wszystkich przypadków.
Kolejna definicja określała krzywą jako sumę skończonej liczby łuków, z których żadne dwa nie mają wspólnych punktów oprócz swych końców. Okazało się jednak, że definicja ta nie obejmuje niektórych przypadków, np. z dołączonym odcinkiem
Definicje topologiczne Szereg definicji topologicznych używa pojęcia continuum (kontinuum), czyli przestrzeni zwartej i spójnej.