Twierdzenie Z każdego ograniczonego ciągu liczb rzeczywistych można wybrać podciąg zbieżny Rafał Czyż, Leszek Gasiński, Marta Kosek, Jerzy Szczepański i Halszka Tutaj-Gasińska, Analiza matematyczna 1, Wykład 4: Ciągi liczbowe, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego (MIM UW), wazniak.mimuw.edu.pl, 25 lipca 2024 [dostęp 2026-03-27]., tzn. można wybrać rosnący ciąg indeksów tak, że ciąg jest zbieżny.
Dowody Pierwszy Załóżmy, że jest ciągiem liczb rzeczywistych, oraz dla wszystkich Indukcyjnie wybieramy liczby oraz liczby naturalne tak że dla każdego mamy
zbiór jest nieskończony.
Pierwszy warunek powyżej definiuje Przypuśćmy, że wybraliśmy już tak, że wymagania sformułowane powyżej są spełnione. Niech Jeśli zbiór jest nieskończony, to połóżmy i wybierzmy tak że Jeśli zbiór jest skończony, to wtedy zbiór musi być nieskończony.