Zbiór wszystkich ultrafiltrów na algebrze jest oznaczany przez Dla definiuje się
Obserwacje Niech będzie filtrem. Wówczas następujące warunki są równoważne: (i) jest ultrafiltrem, (ii) dla każdego elementu albo lub (iii) dla każdych jeśli to lub Każdy filtr jest zawarty w pewnym ultrafiltrze (to stwierdzenie wymaga pewnej formy aksjomatu wyboru). Dla dowolnych mamy, że oraz Rodzina jest bazą pewnej topologii na Przestrzeń topologiczna jest zerowymiarową zwartą przestrzenią T2 (tę przestrzeń nazywamy przestrzenią Stone’a algebry ). Odwzorowanie jest izomorfizmem pomiędzy algebrą a ciałem otwarto-domkniętych podzbiorów jej przestrzeni Stone’a.
Dualność Twierdzenie Stone’a może być sformułowane w nieco ogólniejszej formie, która to oddaje dualizm między algebrami Boole’a a zwartymi, zerowymiarowymi przestrzeniami Hausdorffa.
Twierdzenie Stone’a o dualności Dla każdej algebry Boole’a istnieje izomorfizm
przy czym dla każdej algebry Boole’a dla każdego homomorfizmu
istnieje dokładnie jedna taka funkcja ciągła
że
Ponadto jeżeli jest różnowartościowa, to jest epimorfizmem, jeżeli jest „na”, to jest monomorfizmem, jeżeli jest algebrą Boole’a oraz jest homomorfizmem, to
Zobacz też twierdzenie o reprezentacji algebr Heytinga twierdzenie Sikorskiego
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Twierdzenia topologii Kategoria:Twierdzenia teorii porządku