Grupa Kleina jest jedną z dwóch istotnie (tj. algebraicznie) różnych grup czteroelementowychMożna się o tym przekonać wprost, rozpatrując wszystkie tabliczki działania dla czterech (różnych) elementów, które muszą być kwadratami łacińskimi (ze względu na własność skracania w grupie bądź jednoznaczność rozwiązań równań liniowych w grupie, por. grupa § Własności), przy czym wiersz i kolumna dla działania z elementem neutralnym są ustalone.; druga z nich jest grupą cykliczną.
Z teorii Galois wynika, że właśnie obecność grupy Kleina wśród podgrup grupy symetrycznej czwartego stopnia opisującej symetrie wielomianów czwartego stopnia jednej zmiennej zapewnia rozwiązywalność równania czwartego stopnia z jedną niewiadomą przez pierwiastniki (zob. grupa rozwiązalna)Grupa jest podgrupą normalną grupy alternującej przy czym jest abelowa (jako cykliczna). Ponadto podgrupa trywialna również jest normalna w przy czym także jest abelowa. Oznacza to, że ciąg (podnormalny) podgrup ma ilorazy abelowe, czyli podgrupa jest rozwiązalna. Tym bardziej rozwiązalna która stanowi przedłużenie wspomnianego ciągu, gdyż podobnie jak poprzednio i jest abelowa. Rozwiązalność równań wynika z zasadniczego twierdzenia teorii Galois..
Uwagi
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne [dostęp 2024-09-05].
C Kategoria:Teoria grup abelowych