Ideał – pewna rodzina zbiorów w jakimś sensie małych. Pojęcie małych zbiorów powinno spełniać pewne podstawowe własności: zbiór mniejszy od małego zbioru powinien być mały, zbiór pusty powinien być mały, ale cała przestrzeń (uniwersum) nie powinna być mała, suma dwóch małych zbiorów powinna być mała.
Rodzina zbiorów spełniająca powyższe wymagania (jako rodzina zbiorów małych) jest właśnie ideałem zbiorów, patrz poniżej.
Definicje formalne Ideały w porządkach Niech będzie porządkiem częściowym.
Powiemy, że zbiór jest ideałem w zbiorze uporządkowanym , jeśli następujące warunki są spełnione: (i) (ii) jeśli oraz to również (iii) jeśli to można znaleźć taki że oraz
Ponadto, powiemy, że ideał jest (ideałem) właściwym, jeśli dodatkowo jest: (iv)
Ideały w algebrach Boole’a Ponieważ algebra Boole’a jest także zbiorem częściowo uporządkowanym, to definicja ideału w porządkach częściowych może być przeniesiona bez zmian na algebry Boole’a. Możemy jednak wykorzystać fakt, że porządek boole’owski jest związany z operacjami algebry i możemy sformułować definicję ideału trochę inaczej.
Niech będzie algebrą Boole’a.
Powiemy, że zbiór jest ideałem w algebrze Boole’a , jeśli następujące warunki są spełnione: (i) (ii) jeśli (tzn.