link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Phase_Space_Flow_2.gif|mały|395x395px|Ewolucja zespołu układów klasycznych w przestrzeni fazowej (góra). Każdy układ składa się z jednej masywnej cząstki w jednowymiarowej studni potencjału (czerwona krzywa, dolny rysunek). Podczas gdy ruch pojedynczego członka zespołu jest określony przez równania Hamiltona, równanie Liouville’a opisuje przepływ całego rozkładu. Ruch ten jest analogiczny do ruchu barwnika w nieściśliwej cieczy. Twierdzenie Liouville’a mówi, że objętość w przestrzeni fazowej układu opisywanego równaniami Hamiltona pozostaje stała w czasie, o ile nie następują straty energii, tj. zmiany można opisać równaniami Hamiltona. Twierdzenie to obowiązuje zarówno w mechanice statystycznej, jak i w mechanice kwantowej (w mechanice klasycznej układ zajmuje jeden punkt w przestrzeni fazowej, więc to twierdzenie jest trywialne).
Równanie Liouville’a Równanie wyrażające treść twierdzenia Liouville’a ma postać:
gdzie: – hamiltonian układu, – gęstość prawdopodobieństwa tego, że układ znajduje się w stanie – nawiasy Poissona, – pędy kanoniczne układu, – współrzędne kanoniczne układu.
Sumowanie przebiega po wszystkich współrzędnych i pędach układu.