Później aksjomatyzacje podawali Hailperin, Quine, Hintikka.
Jeżeli dziedzina jest pusta, fałszywe są wszelkie zdania z kwantyfikatorem egzystencjalnym. Pojawia się jednak pytanie: jaka będzie wartość logiczna wyrażeń z dużym kwantyfikatorem? Możliwe są trzy podejścia: zdania takie są fałszywe (Mostowski), prawdziwe (Hailperin) lub nie mają wartości logicznej (Strawson). Każde z tych rozwiązań ma pewne wady. Jeżeli przyjmiemy rozwiązanie Mostowskiego, problematyczne są domknięcia tautologii rachunku zdań (np. ), które w sposób sprzeczny z intuicją powinniśmy traktować jako fałszywe. W rozwiązaniu Hailperina, odwrotnie, kłopotliwe są domknięcia kontrtautologii rachunku zdań. System Strawsona uniemożliwia zaś analizę takich zdań na gruncie logiki dwuwartościowej.
Logiki wolne pomagają rozwiązać problem nazw pustych (np. obecny król Francji). W russellowskiej teorii deskrypcji są one uznawane za nazwy pozorne, skróty deskrypcji (np. obecny król Francji = „jedyny taki x, że x jest królem Francji i x żyje współcześnie”), którym nie odpowiada żaden przedmiot. Stąd już niedaleko do uznania mocno wątpliwej tezy, że wszystkie „nazwy własne” są skrótami deskrypcji, a jedyne właściwe nazwy to to i ten. Przyjmując pewien wariant logiki wolnej, pozbywamy się tych problemów.