1912–2004) i Carmine Coppoli (1910–1991), flecisty i kompozytora. Dorastał w Nowym Jorku ze starszym bratem Augustem Floydem (1934–2009) i młodszą siostrą Talią Rose Shire (ur. 1946). Jego dziadkowie ze strony ojca przybyli do Stanów Zjednoczonych z Bernaldy, w regionie Basilicata. Jego dziadek ze strony matki, popularny włoski kompozytor Francesco Pennino, wyemigrował z Neapolu we Włoszech. Coppola otrzymał drugie imię na cześć Henry’ego Forda.
W dzieciństwie zachorował na chorobę Heinego-Medina. Wówczas Coppola przez długi czas leżał w łóżku, co pozwoliło mu pobudzić wyobraźnię domowymi przedstawieniami teatru lalek. W wieku 15 lat przeczytał Tramwaj zwany pożądaniem, co odegrało kluczową rolę w jego zainteresowaniu teatrem. Początkowo planował karierę muzyczną, grał na tubie i zdobył stypendium muzyczne w Akademii Wojskowej w Nowym Jorku. Coppola uczęszczał do 23 innych szkół, zanim ostatecznie ukończył Great Neck North High School. W 1955 rozpoczął studia w dziedzinie sztuki dramatycznej w Hofstra College w Hempstead. Tam otrzymał stypendium w dziedzinie dramatopisarstwa.