Wygrał łącznie 16 turniejów singlowych i 13 deblowych. W lipcu 1979 klasyfikowany był jako czwarta rakieta świata. Występował w barwach narodowych w czterech edycjach Pucharu Davisa, przyczyniając się do zdobycia trofeum w 1981. Wprawdzie w finale z Argentyną nie zdobył punktu, przegrywając z José Luisem Clercem i nie kończąc meczu z Guillermo Vilasem (pojedynek nie miał znaczenia dla końcowego rozstrzygnięcia i został przerwany przy stanie 11:10 dla Tannera w pierwszym secie), ale punktował w I rundzie (pokonał Meksykanina Jorge Lozano) i półfinale (pokonał Australijczyków Marka Edmondsona i Petera McNamarę).
Po zakończeniu kariery sportowej Tanner prowadził dość burzliwe życie, które ostatecznie doprowadziło go do konfliktów z prawem. Dwukrotnie się rozwodził, uchylał się od płacenia alimentów, posługiwał się czekiem bez pokrycia. W efekcie w 2003 został skazany na dozór sądowy, a za łamanie ograniczeń z tym związanych otrzymał w styczniu 2006 2-letni wyrok więzienia.
Finały singlowe w turniejach wielkoszlemowych Australian Open 1977 – 6:3, 6:3, 6:3 z Guillermo Vilasem Wimbledon 1979 – 7:6, 1:6, 6:3, 3:6, 4:6 z Björnem Borgiem