metrykę naturalną dostaniemy:
Tutaj a, b, c są długościami odcinków, α, β, γ są kątami między odpowiednimi bokami. Jak widać, jeśli argumentem jest długość odcinka, to zamiast funkcji trygonometrycznej używamy odpowiedniej funkcji hiperbolicznej. Dowód pierwszego wzoru znajdujący się wStefan Kulczycki, Geometrie nieeuklidesowe, seria „Biblioteka Problemów”, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1956. jest przeprowadzony nie w modelu, ale bezpośrednio z aksjomatów geometrii hiperbolicznej (wewnątrz teorii).
Z ostatniego z tych wzorów można wyciągnąć ciekawy wniosek – wystarczy ten wzór zastosować do trójkąta prostokątnego z jednym wierzchołkiem w „nieskończoności”, czyli spełniającego: Dostaniemy wówczas zależność którą można przekształcić do równoważnej postaci znanej jako funkcja Łobaczewskiego.
Zauważmy, że drugi wzór z geometrii eliptycznej i drugi z geometrii hiperbolicznej oferują coś, co jest niemożliwe w geometrii euklidesowej – pozwalają one wyliczyć długość dowolnego boku trójkąta na podstawie znajomości jedynie kątów tego trójkąta.
Spostrzeżenie, że umożliwia bardziej spójne spojrzenie na temat.