Gdyby tak nie było, istniałyby liczby całkowite i dla których mielibyśmy Niech oznacza taką liczbę naturalną, że Wówczas, jeśli i są dowolnymi liczbami całkowitymi, takimi że i to
co jest sprzeczne z określeniem liczby Liouville’a.
Własności miarowe zbioru liczb Liouville’a Wykażemy, że zbiór liczb Liouville’a jest miary zero Lebesgue’a. Dowód przedstawiony poniżej jest oparty na rozumowaniu, które podał OxtobyJohn C. Oxtoby, Measure and category. A survey of the analogies between topological and measure spaces. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 2. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1980, s. 8. .. Dla liczb naturalnych oraz połóżmy:
Zauważmy, że dla każdych liczb naturalnych i mamy
Oczywiście, Pamiętając, że można również wykazać, że
Ponieważ to teraz łatwo wnioskujemy, że dla każdej liczby naturalnej przekrój jest miary Lebesgue’a zero, a zatem i jest miary zero. Czyli z miarowego punktu widzenia, prawie żadna liczba rzeczywista nie jest liczbą Liouville’a.
Własności topologiczne zbioru liczb Liouville’a Dla liczby naturalnej połóżmy: