Eugeniusz, mianowany przez Episkopat Polski w 1987 Krajowym Duszpasterzem Hospicjum, stał się niestrudzonym propagatorem hospicyjnej troski o nieuleczalnie chorych i ich rodziny.
Podczas pielgrzymki Jana Pawła II do Polski w 1987, przygotowywał spotkanie z chorymi w bazylice Mariackiej w Gdańsku.
Ks. Eugeniusz Dutkiewicz starał się być w każdym nowym hospicjum w Polsce, tworząc jednocześnie w Gdańsku w 1991, Ogólnopolskie Forum Ruchu Hospicyjnego. Od 1993, jako członek Krajowej Rady ds. Opieki Paliatywnej i Hospicyjnej przy Ministerstwie Zdrowia, brał udział w pracach, które doprowadziły do powstania "Programu rozwoju opieki paliatywnej i hospicyjnej w Polsce". Stałym elementem pracy Krajowego Duszpasterza Hospicjum były rekolekcje, dni skupienia i referaty wygłaszane przy okazji niezliczonych spotkań formacyjnych. Wobec rosnącego zapotrzebowania na opiekę hospicyjną ciągle rozszerzał działalność Hospicjum GdańskiegoHospicjum Gdańskie. Jedną z zauważalnych potrzeb była budowa hospicjum stacjonarnego, w którym mogliby zakończyć życie chorzy pozbawieni rodziny lub wymagający szczególnej opieki.