Twierdzenie Abela o szeregach potęgowych – twierdzenie analizy zespolonej wiążące zbieżność szeregu potęgowego w punkcie brzegu koła zbieżności ze zbieżnością funkcji reprezentowanej przez szereg wewnątrz koła dla argumentów zbieżnych do tego punktu po pewnej drodze udowodnione przez norweskiego matematyka Nielsa Henrika Abela.
Sformułowanie Niech będzie ciągiem zespolonym: Jeżeli szereg jest zbieżny oraz funkcja zespolona określona w kole jednostkowym jest dana wzorem to wówczas gdy dąży do 1 po drodze zawartej pomiędzy dwiema cięciwami koła zbieżności wychodzącymi z punktu 1.
Uwagi: Przykładem takiej drogi może być odcinek otwarty Przypadek dowolnego skończonego promienia zbieżności i punktu z jego brzegu może być sprowadzony do promienia 1 i punktu 1.
Dowód Oznaczając przez sumy częściowe szeregu a przez jego sumę i korzystając z przekształcenia Abela można zapisać:
Zgodnie ze wzorem na granicę szeregu geometrycznego: a zatem:
Ze zbieżności szeregu wynika, że można dobrać takie by dla każdego wartość wyrażenia była dostatecznie mała (mniejsza od ustalonego ).
Suma pierwszych wyrazów szeregu jest dla dowolnego z koła zbieżności ograniczona przez stałą Ponieważ dla dostatecznie bliskich 1 wartość jest dowolnie mała, wyrażenie dąży do zera.