Twierdzenie Ehrenfesta – podaje w jaki sposób zmieniają się w czasie wartości oczekiwane operatora położenia i pędu cząstki w mechanice kwantowej. Okazuje się, że zmiany te zachodzą w sposób analogiczny do mechaniki klasycznej.
Twierdzenie to zostało sformułowane i udowodnione przez Paula Ehrenfesta.
Wyprowadzenie wzoru (1) Przyjmujemy obraz Schrödingera, tj. zakładamy, że wektory stanu opisujące układy fizyczne zależą od czasu, ale operatory (obserwable) nie zależą od czasu. Szybkość zmian wartości oczekiwanej operatora wyraża wzór:
Ponieważ operator nie zależy jawnie od czasu, to wzór powyższy upraszcza się
Poniżej wyznaczone zostaną szybkości zmian w czasie wartości oczekiwanych operatorów pędu i położenia cząstki, której stan kwantowy jest opisany wektorem
(2) Wartości oczekiwana operatora pędu
Jeżeli za operator wstawi się operator pędu, to otrzyma się
Obliczając komutator otrzyma się:
Ponieważ:
oraz
to otrzyma się
(3) Wartości oczekiwana operatora położenia
Jeżeli za operator wstawi się operator położenia, to otrzyma się
Ponieważ:
oraz
to
I ostatecznie mamy:
(4) Reasumując:
Dwa ostatnie wzory stanowią treść twierdzenia Ehrenfesta.