z równości na ogół nie wynika Istotnie, wystarczy wskazać jakieś wektory dla których zachodzi Niech więc będą liniowo niezależnymi wektorami i niech Wówczas oczywiście oraz
Stąd
Obliczanie Zapis we współrzędnych Wektory jednostkowe danego ortogonalnego układu współrzędnych spełniają poniższe równości:
Wspomniane trzy równości wystarczają wraz z antysymetrycznością i dwuliniowością do wyznaczenia iloczynu wektorowego dowolnych dwóch wektorów; w szczególności zachodzą także równości:
oraz
Korzystając z powyższych reguł, można obliczyć współrzędne iloczynu wektorowego dwóch wektorów bez potrzeby wyznaczania kątów; niech
oraz
Iloczyn wektorowy powyższych wektorów, można obliczyć korzystając z rozdzielności względem dodawania tego działania:
a ponieważ mnożenie przez skalar jest przemienne z mnożeniem wektorów, to
czyli zgodnie z powyższymi regułami
a więc ostatecznie po wyłączeniu wspólnych wyrazów jest
Mnemotechniki Zgodnie z interpretacją geometryczną definicję iloczynu wektorowego można przedstawić również jako wyznacznik macierzy formalnej:
Wyznacznik ten można obliczyć za pomocą reguły Sarrusa,
lub rozwinięcia Laplace’a
co w obu przypadkach daje składowe wektora wynikowego.
Reprezentacja macierzowa Niech symbol oznacza macierz antysymetryczną