co dowodzi inkluzji
Istnieją pierścienie ideałów głównych, których nie da się wyposażyć w normę (tj. nie są pierścieniami euklidesowymi). Przykładem takiego pierścienia jest
Największy wspólny dzielnik dwóch niezerowych elementów pierścienia Euklidesa można odnaleźć przy pomocy algorytmu Euklidesa. Jeżeli jest pierścieniem Euklidesa to można utworzyć taki ciąg równości
aby
Ciąg taki (jako malejący ciąg liczb całkowitych dodatnich) musi być skończony, zatem dla pewnej liczby naturalnej zachodzi równość Dla najmniejszego takiego reszta jest największym wspólnym dzielnikiem elementów Zatem jeśli można wyznaczyć i to można wyznaczyć największy wspólny dzielnik i
Przykłady Pierścieniami Euklidesa są: Pierścień liczb całkowitych z normą Pierścień liczb całkowitych Gaussa wraz z normą gdzie Pierścień liczb całkowitych Eisensteina z normą gdzie Pierścień wielomianów nad dowolnym ciałem wyposażony z normę = stopień wielomianu jest pierścieniem Euklidesa.