mały|Henri Lebesgue
Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej (zmajoryzowanej) – twierdzenie w analizie i teorii miary stwierdzające, że granica odpowiednio ograniczonego ciągu funkcji mierzalnych jest całkowalna i jej całka jest granicą całek z wyjściowych funkcji.
Nazwa twierdzenia została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka Henriego Lebesgue’a.
Twierdzenie Założenia: (a) jest przestrzenią mierzalną z miarą . (b) Funkcje , gdzie , tworzą ciąg funkcji mierzalnych. (c) Istnieje funkcja całkowalna , tj. taka że dla prawie wszystkich i dla wszystkich (d) Dla prawie wszystkich istnieje granica (por. zbieżność prawie wszędzie)
(e) Funkcja jest określona tak, że dla prawie wszystkich
Teza: Funkcja jest całkowalna i jej całka względem miary jest równa granicy ciągu całek liczonych z funkcji względem miary tj.
Szkic dowodu Załóżmy, że są spełnione warunki (a)-(d). Najpierw zauważamy, że jest funkcją mierzalną, jako że granica zbieżnego ciągu funkcji mierzalnych jest mierzalna. oraz (dla wszystkich ), a stąd jest całkowalna.