thumb|250px|Diagram ilustrujący pole wektorowe w przestrzeni thumb|250px|Diagram ilustrujący pole wektorowe w przestrzeni
Pole wektorowe – funkcja, która każdemu punktowi przestrzeni przyporządkowuje pewną wielkość wektorową. Formalnie definicja pola wektorowego odwołuje się do teorii miary i teorii przestrzeni Hilberta.
Definicja pola wektorowego Niech będzie przestrzenią z miarą. Rozważmy rodzinę przestrzeni Hilberta Dokładniej rodzinę przestrzeni Hilberta . Elementy produktu nazywamy polami wektorowymi.
Rodziną fundamentalną pól -mierzalnych nazywamy rodzinę spełniającą warunki: funkcja jest -mierzalna dla Zob. podprzestrzeń liniowa. dla każdego
Pole wektorowe
nazywamy mierzalnym, gdy wszystkie funkcje są -mierzalne.
Pola -mierzalne stanowią podprzestrzeń liniową produktu Produkt przestrzeni liniowych jest przestrzenią liniową..
Przykłady pól wektorowych Przykładami pól wektorowych znanymi z fizyki są: pole grawitacyjne – pole wektorów natężenia pola grawitacyjnego, pole elektryczne – pole wektorów natężenia pola elektrycznego, pole magnetyczne – pole wektorów indukcji magnetycznej, pole prędkości i potencjał zespolony przepływu – określa prędkość przepływu płynu w każdym punkcie przestrzeni.