Podejście, w którym aksjomaty Euklidesa można udowodnić jako twierdzenia, nosi nazwę geometrii analitycznej. W ten sposób w ujęciu geometrii syntetycznej prosta jest pojęciem pierwotnym, w geometrii analitycznej definiuje się ją z kolei jako zbiór punktów spełniających pewne równanie. W poniższej tabelce porównane są interpretacje pojęć w aksjomatyce przestrzeni euklidesowej i w przestrzeni kartezjańskiej; dla uproszczenia zagadnienie rozpatrywane jest w geometrii płaszczyzny.
Pojęcie Interpretacja geometrii syntetycznej Interpretacja w przestrzeni kartezjańskiej punkt pojęcie pierwotne para uporządkowana liczb rzeczywistych prosta pojęcie pierwotne zbiór par liczb rzeczywistych spełniających określone równanie relacja incydencji („punkt leży na prostej”) pojęcie pierwotne współrzędne punktu spełniają równanie prostej aksjomaty (Euklidesa, Hilberta, itp.) spełnione jako aksjomaty spełnione na mocy dowodów dowodzenie twierdzeń w oparciu o aksjomaty w oparciu o metody geometrii analitycznej