Wówczas można znaleźć funkcje ciągłe dla takie, że ciąg jest zbieżny punktowo do funkcji Z twierdzenia Weierstrassa wynika, że każda funkcja ciągła jest granicą jednostajną, a więc i granicą punktową ciągu wielomianów.
Własności Jeśli oraz ciąg jest zbieżny punktowo do funkcji a ciąg jest zbieżny punktowo do funkcji oraz to ciąg jest zbieżny punktowo do funkcji ciąg jest zbieżny punktowo do funkcji jeśli dodatkowo dla wszystkich to ciąg jest zbieżny punktowo do funkcji Jeśli (dla ) są funkcjami ciągłymi zbieżnymi punktowo do funkcji to jest funkcją mierzalną względem σ-ciała zbiorów borelowskich (zob. dalej). Twierdzenie Baire’a: Jeśli są przestrzeniami metrycznymi, (dla ) są funkcjami ciągłymi, oraz ciąg jest zbieżny punktowo do funkcji to zbiór nie jest ciągła w punkcie jest pierwszej kategorii. Z twierdzenia Jegorowa wynika, że jeśli są funkcjami mierzalnymi w sensie miary Lebesgue’a i ciąg jest zbieżny punktowo do funkcji to dla każdego dodatniego można wybrać zbiór taki, że oraz ciąg jest zbieżny jednostajnie do funkcji
Klasy Baire’a