W 1988 roku wystartował na igrzyskach olimpijskich w Seulu, gdzie wspólnie z Artūrasen Kasputisen, Dmitrijem Nielubinem i Gintautasem Umarasem zwyciężył w drużynowym wyścigu na dochodzenie. Na kolejny start olimpijski musiał poczekać 12 lat – do igrzysk w Sydney. Podczas australijskich igrzysk zdobył medal na szosie, zajmując pierwsze miejsce w indywidualnej jeździe na czas. Rosjanin bezpośrednio wyprzedził Niemca Jana Ullricha oraz Lance’a Armstronga z USA. Na tej samej imprezie wziął również udział w wyścigu ze startu wspólnego, który ukończył na 75. pozycji. Cztery lata później, podczas igrzysk olimpijskich w Atenach Jekimow zajął drugie miejsce w jeździe na czas za Tylerem Hamiltonem z USA. Dopiero w 2012 roku potwierdzono, że we krwi Amerykanina wykryto doping i odebrano mu medal. Dzięki temu Rosjanin został potrójnym mistrzem olimpijskim. W stolicy Grecji także wystartował w wyścigu ze startu wspólnego, jednak tym razem nie ukończył rywalizacji. Poza tym zwyciężył między innymi w: Tour de Normandie (1988), Mistrzostwach Zurychu (1992), Clásica de Almería (1993), Driedaagse van De Panne-Koksijde (1996 i 2000) oraz Ronde van Nederland (2003). Nigdy jednak nie zdobył medalu na szosowych mistrzostwach świata.